天才通常擁有比常人敏銳的洞察力。實(shí)驗(yàn)中的反常現(xiàn)象引起了馮·卡門的注意，他想「也許振動(dòng)不是偶然的，而是由內(nèi)在原因決定的」。于是卡門從理論角度進(jìn)行思考。這個(gè)被稱作「卡門渦街」的理論被后來眾多實(shí)驗(yàn)證實(shí)。「卡門渦街」的名稱，也沿用至今。

歷史注記

什么是卡門渦街

摘自 Wikipedia "Kármán vortex street"

In fluid dynamics, a Kármán vortex street (or a von Kármán vortex street) is a repeating pattern of swirling vortices, caused by a process known as vortex shedding, which is responsible for the unsteady separation of flow of a fluid around blunt bodies.

在流體動(dòng)力學(xué)中，卡門渦街 (或 馮·卡門渦街)是一種重復(fù)的旋渦模式，由一個(gè)被稱作旋渦脫落的過程引起，該過程是鈍體周圍的流體流動(dòng)產(chǎn)生非定常分離的原因之一。

It is named after the engineer and fluid dynamicist Theodore von Kármán and is responsible for such phenomena as the "singing" of suspended telephone or power lines and the vibration of a car antenna at certain speeds. Mathematical modeling of von Kármán vortex street can be performed using different techniques including but not limited to solving the full Navier-Stokes equations with k-epsilon, SST, k-omega and Reynolds stress, and large eddy simulation (LES) turbulence models, or by numerically solving some dynamic equations such as the Ginzburg-Landau equation.

它以工程師兼流體動(dòng)力學(xué)家 西奧多·馮·卡門 的名字命名。懸掛在空中的電話或電力線會(huì)發(fā)出「嗡鳴」，汽車天線在特定風(fēng)速下會(huì)振動(dòng)，衛(wèi)星圖片上島群后面出現(xiàn)的尾跡（如圖 1 所示）……這些現(xiàn)象都是由卡門渦街造成的。卡門渦街有多種數(shù)學(xué)建模方式，比如求解應(yīng)用 k-epsilon, SST, k-omega, 雷諾應(yīng)力和大渦模擬 (LES) 湍流模型的完整 Navier-Stokes 方程，或數(shù)值求解 Ginzburg-Landau 方程等動(dòng)力學(xué)方程。

流體力學(xué)大師，航空航天奇才

西奧多·馮·卡門（1881年5月11日 ~ 1963年5月6日），匈牙利猶太人，1936年入美國籍，是20世紀(jì)最偉大的航天工程學(xué)家，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)在航空航天和其他技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用，被譽(yù)為「航空航天時(shí)代的科學(xué)奇才」。 卡門師從有「現(xiàn)代流體力學(xué)之父」「空氣動(dòng)力學(xué)之父」之稱的普朗特（我國著名流體力學(xué)家 陸士嘉先生 是普朗特的唯一親傳女弟子）。 他所在的加利福尼亞理工學(xué)院實(shí)驗(yàn)室后來成為美國國家航空和航天噴氣實(shí)驗(yàn)室（NASA JPL），我國著名科學(xué)家錢偉長(zhǎng)、錢學(xué)森、郭永懷、林家翹都是他的親傳弟子。同時(shí)，卡門在我國老百姓中知名度也很高。

馮·卡門在航空事業(yè)上的卓越成就是無可辯駁的。航空學(xué)和航天學(xué)上一些最光輝的理論、概念都是以他的名字命名，月球上也有一個(gè)名為馮·卡門的隕石坑。而航空史上令人矚目的里程碑，如齊柏林飛艇、風(fēng)洞，滑翔機(jī)和火箭…… 可以說20世紀(jì)的一切實(shí)際飛行和模擬飛行的成功都與他有著密切聯(lián)系。卡門特別的貢獻(xiàn)包括非彈性彎曲，環(huán)筒流的非定常尾跡，層流穩(wěn)定性，紊流，定常和非定常流中的翼型，邊界層以及超音速空氣動(dòng)力學(xué)。在其他領(lǐng)域他也有貢獻(xiàn)，包括彈性，振動(dòng)，傳熱和結(jié)晶學(xué)等。

卡門渦街的發(fā)現(xiàn)

Although named after Theodore von Kármán, he acknowledged that the vortex street had been studied earlier by Arnulph Mallock and Henri Bénard. Kármán tells the story in his book Aerodynamics:

雖然以馮·卡門的名字命名，卡門本人指出 阿努夫·馬洛克 和 亨利·伯納德 早前就對(duì)漩渦街進(jìn)行過研究。卡門在他的《Aerodynamics》（空氣動(dòng)力學(xué)）著作中講述了這樣一個(gè)有趣的故事：

...Prandtl had a doctoral candidate, Karl Hiemenz, to whom he gave the task of constructing a water channel in which he could observe the separation of the flow behind a cylinder. The object was to check experimentally the separation point calculated by means of the boundary-layer theory. For this purpose, it was first necessary to know the pressure distribution around the cylinder in a steady flow. Much to his surprise, Hiemenz found that the flow in his channel oscillated violently. When he reported this to Prandtl, the latter told him: 'Obviously your cylinder is not circular.' However, even after very careful machining of the cylinder, the flow continued to oscillate. Then Hiemenz was told that possibly the channel was not symmetric, and he started to adjust it. I was not concerned with this problem, but every morning when I came in the laboratory I asked him, 'Herr Hiemenz, is the flow steady now?' He answered very sadly, 'It always oscillates.'

1911年，路德維希·普朗特^[1]給了他的一個(gè)博士生，卡爾·希門茲^[2]一個(gè)任務(wù)：建造一個(gè)可以觀察到圓柱體后面的水流分離的水道，以通過實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)利用邊界層理論計(jì)算出的流動(dòng)分離點(diǎn)的正確性。為此，首先需要知道在穩(wěn)定流動(dòng)中圓柱體周圍的壓力分布。令希門茲吃驚的是，他發(fā)現(xiàn)管道中的流動(dòng)振蕩十分劇烈。當(dāng)他將這一情況報(bào)告給普朗特時(shí)，導(dǎo)師告訴他：「很明顯，你的圓柱體不是準(zhǔn)確的圓形。」然而，即使在對(duì)圓柱進(jìn)行了非常仔細(xì)的打磨之后，流動(dòng)仍然在振蕩。接著，普朗特又告訴希門茲可能由于槽道不對(duì)稱，希門茲又開始調(diào)整它。我不是很關(guān)心這個(gè)問題，但每天早上我一進(jìn)實(shí)驗(yàn)室就問他：「希門茲先生，現(xiàn)在流量穩(wěn)定了嗎?」他非常悲傷地回答說:「它總是振蕩的。」

天才通常擁有比常人敏銳的洞察力。實(shí)驗(yàn)中的這種反常現(xiàn)象立刻引起了馮·卡門的注意，他想「也許振動(dòng)不是偶然的，而是由內(nèi)在原因決定的」。于是卡門從理論上進(jìn)行思考，起初他設(shè)想圓柱體后的水流形成兩道對(duì)稱排列但反方向的旋渦，但發(fā)現(xiàn)這種狀態(tài)不能維持，很快不穩(wěn)定。于是他假設(shè)兩道旋渦交錯(cuò)排列，計(jì)算結(jié)果表明這種狀態(tài)在一定條件下能夠維持。卡門將計(jì)算結(jié)果向?qū)熎绽侍貓?bào)告。隨即普朗特命卡門寫出論文發(fā)表。這是卡門的第一篇論文，也是他的成名之作。這個(gè)關(guān)于渦街的理論被后來眾多實(shí)驗(yàn)證實(shí)。「卡門渦街」的名稱，也沿用至今。

一向謙虛的卡門認(rèn)為他在 1911 ~ 1912 年，對(duì)這一問題研究的貢獻(xiàn)主要在兩個(gè)方面：

• 一是發(fā)現(xiàn)渦街只有當(dāng)渦旋是反對(duì)稱排列，且僅當(dāng)行列的距離對(duì)同行列內(nèi)相鄰兩渦旋的間隔有一定的比值時(shí)才穩(wěn)定；

• 二是將渦系所攜帶的動(dòng)量與阻力聯(lián)系了起來。

不過，這一開創(chuàng)性貢獻(xiàn)足以寫進(jìn)后輩們的教科書了~

下面，就讓我們回到1911年，感悟大師的直覺，享受物理的奇妙，體驗(yàn)科學(xué)的魅力。

卡門的建模思路

物理的直覺告訴卡門，流動(dòng)穩(wěn)定的振蕩與組合旋渦，即點(diǎn)渦系的穩(wěn)定性有關(guān)。但是，兩道對(duì)稱排列但反方向的旋渦的互相誘導(dǎo)明顯不穩(wěn)定。那么如果兩道旋渦交錯(cuò)排列呢？這樣又能誕生怎樣的奇妙現(xiàn)象呢？

現(xiàn)在構(gòu)建一個(gè)按圖 2 所示排列的點(diǎn)渦系，其由兩排強(qiáng)度相同、符號(hào)相反，水平間距相同 (均為 $?$ )，錯(cuò)位排列的點(diǎn)渦列組成，考慮無粘情形。兩排點(diǎn)渦位于 $?=\pm \frac{?}{2}$ 直線上。

現(xiàn)在讓我們嘗試?yán)L制點(diǎn)渦系誘導(dǎo)流場(chǎng)的流線。并思考：當(dāng)兩列點(diǎn)渦滿足什么位置關(guān)系時(shí)，點(diǎn)渦系能夠保持無粘中性穩(wěn)定？

模型的數(shù)學(xué)解答

我們知道，在復(fù)平面上，考慮二維、不可壓、勢(shì)流情形，點(diǎn)渦誘導(dǎo)速度的復(fù)位勢(shì)可以表達(dá)為^[3]

$$\begin{array}{}\text{(1)}& ?(?)=\frac{\mathrm{\Gamma }}{2?\mathrm{i}}\ln ?(??{?}_0)\end{array}$$

其中，$?=?+\mathrm{i}?=?{?}^{??}$ 為復(fù)平面坐標(biāo)，${?}_0$ 為點(diǎn)渦位置。復(fù)位勢(shì)可表達(dá)為

$$\begin{array}{}\text{(2)}& ?(?)=?+\mathrm{i}?\end{array}$$

其中，$?$ 為速度勢(shì)，$?$ 為流函數(shù)。

如圖 3 所示，考慮放置在 $?$ 軸上，關(guān)于 $?$ 軸對(duì)稱（原點(diǎn)布置一個(gè)點(diǎn)渦），強(qiáng)度相同，間距相同為 $?$ 的一排無窮多個(gè)點(diǎn)渦。

由疊加原理，其復(fù)位勢(shì)可表示為^[4]

$$\begin{array}{}\text{(3)}& ?(?)=\frac{\mathrm{\Gamma }}{2??}\sum _{?=?\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\ln ?(????)=\frac{\mathrm{\Gamma }}{2??}\ln ?\left[\frac{??}{?}\prod _{?=1}^{\mathrm{\infty }}(1?\frac{{?}^2}{{?}^2{?}^2})\right]+(\frac{\mathrm{\Gamma }}{2??}\ln ?[\frac{?}{?}(?{?}^2)(?4{?}^2)?(?{?}^2{?}^2)])\end{array}$$

由正弦三角函數(shù)展開式

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \sin ??=?\prod _{?=1}^{\mathrm{\infty }}(1?\frac{{?}^2}{{?}^2{?}^2})\end{array}$$

則式 $(3)$ 可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

$$\begin{array}{}\text{(5)}& ?(?)=\frac{\mathrm{\Gamma }}{2??}\ln ?(\sin ?\frac{??}{?})\end{array}$$

進(jìn)而由坐標(biāo)平移，寫出點(diǎn)渦系的總復(fù)位勢(shì)為

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{r}?(?)=\frac{\mathrm{\Gamma }}{2?\mathrm{i}}\ln ?\frac{\sin ?\left[\frac{?}{?}(??\frac{?}{2}\mathrm{i})\right]}{\sin ?\left[\frac{?}{?}(?+\frac{?}{2}\mathrm{i}?\frac{?}{2})\right]}\end{array}\end{array}$$

進(jìn)一步考慮上圖 2 所示單排點(diǎn)渦，可寫出流函數(shù)為

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{r}{?}_0=\frac{1}{2\mathrm{i}}[{?}_0(?)?{?}_0^{?}(?)]=?\frac{\mathrm{\Gamma }}{4?}\ln ?\frac{1}{2}(\cosh ?\frac{2??}{?}?\cos ?\frac{2??}{?})\end{array}\end{array}$$

再由坐標(biāo)平移可得，上下兩排點(diǎn)渦分別產(chǎn)生的流函數(shù)為

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{r}{?}_1=?\frac{\mathrm{\Gamma }}{4?}\ln ?\frac{1}{2}\{\cosh ?\left[\frac{2?}{?}(??\frac{?}{2})\right]?\cos ?\left(\frac{2??}{?}\right)\}\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{r}{?}_2=\frac{\mathrm{\Gamma }}{4?}\ln ?\frac{1}{2}\{\cosh ?\left[\frac{2?}{?}(?+\frac{?}{2})\right]?\cos ?\left[\frac{2?}{?}(??\frac{?}{2})\right]\}\end{array}\end{array}$$

由線性性質(zhì)，疊加可得原點(diǎn)渦系的流函數(shù)最終形式為

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{r}\begin{array}{rl}?& ={?}_1+{?}_2=?\frac{\mathrm{\Gamma }}{4?}?\ln ?\left\{\frac{\cosh ?\left[\frac{2?}{?}(??\frac{?}{2})\right]?\cos ?\left(\frac{2??}{?}\right)}{\cosh ?\left[\frac{2?}{?}(?+\frac{?}{2})\right]?\cos ?\left[\frac{2?}{?}(??\frac{?}{2})\right]}\right\}.\end{array}\end{array}\end{array}$$

以上流函數(shù)定義在笛卡爾坐標(biāo)系 $(?,?)$ 下。令其為常數(shù) $\text{const}$ ，則可根據(jù)不同 $?/?$ 大小的情形，來繪制一系列流線簇。

下面采用 Mathematica 12.3 軟件分別繪制 $?/?=0.00,$ $0.05,$$0.15,$$0.2806,0.35,$ $0.50,$ $1.00,$ $1.50$ 六種情形下的流線分布，并設(shè)置 $?=1,\mathrm{\Gamma }=1$ ，如圖 4 所示，源代碼見附錄。

可以觀察到，該點(diǎn)渦系流線呈現(xiàn)在上下兩排點(diǎn)渦間交替穿插的特點(diǎn)。隨著 $?/?$ 增加，兩排點(diǎn)渦間的流線扭曲程度逐漸趨緩。當(dāng) $?/?=0$ 時(shí)，該點(diǎn)渦系退化為單排點(diǎn)渦系。

值得注意的是，當(dāng) $?/?=0.2806$ 時(shí)，該點(diǎn)渦系正是由馮·卡門提出的唯一能夠保持無粘中性穩(wěn)定的情形，即為著名的卡門渦街 (von Kármán Vortex Street)。這里有關(guān)點(diǎn)渦系穩(wěn)定性的推導(dǎo)這里從略，詳細(xì)請(qǐng)參考相關(guān)文獻(xiàn)。

圖 4 不同 b/a 情形下點(diǎn)渦系誘導(dǎo)的流線簇示意圖

由一個(gè)看似基本的點(diǎn)渦系穩(wěn)定性問題，便獲得了卡門渦街優(yōu)美的數(shù)學(xué)模型，是不是很奇妙呢？

后來，在卡門基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，圓柱繞流卡門渦街（如圖 5, 6 所示）的形成，其來流必須滿足一定條件。

由 量綱分析 可知，主導(dǎo)渦街形態(tài)的兩個(gè)無量綱數(shù)為 斯特勞哈爾數(shù) $\mathrm{St}$ (Strouhal number) 和 雷諾數(shù) $\mathrm{Re}$ (Reynolds number)，其定義分別如下：

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathrm{St}=\frac{??}{?}\end{array}$$

其中，$?$ 為渦脫頻率，$?$ 為特征長(zhǎng)度，$?$ 為來流速度。$\mathrm{St}$ 的物理意義是非定常運(yùn)動(dòng)慣性力與慣性力之比，是表征流動(dòng)非定常性的相似準(zhǔn)則，也是是非定常空氣動(dòng)力實(shí)驗(yàn)中要模擬的相似準(zhǔn)則。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\mathrm{Re}}_{?}=\frac{??}{?}\end{array}$$

其中，$?$ 為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。${\mathrm{Re}}_{?}$ 的物理意義是定常運(yùn)慣性力與粘性力之比，是流體力學(xué)中最基本、最重要的無量綱數(shù)。

關(guān)于卡門渦街中擾流圓柱渦的脫落頻率 $?$，泰勒（F. Taylor）和 瑞利（L. Rayleigh）給出了下列經(jīng)驗(yàn)公式^[5]

$$\begin{array}{}\text{(13)}& ?=0.198\frac{?}{?}(1?\frac{19.7}{{\mathrm{Re}}_{?}})\end{array}$$

該式適用于 $250<{\mathrm{Re}}_{?}=\frac{??}{?}<2\times {10}^5$。其中 $?$ 為圓柱直徑。由此看出，擾流圓柱卡門渦街中渦脫落頻率 $?$ 與流速 $?$ 成正比，即流速越大，渦脫落的越快；而與圓柱直徑 $?$ 成反比，即圓柱直徑越大，渦脫落的越慢。

通過上述經(jīng)驗(yàn)式我們還可以定量分析一些現(xiàn)象：比如在風(fēng)吹電線嗡鳴發(fā)聲的現(xiàn)象中，假設(shè)已知風(fēng)速和電線的直徑，那么就可以獲得風(fēng)嗡鳴的頻率。反之，我們測(cè)得了聲音頻率就可以獲得風(fēng)速！^[6]

當(dāng)然，卡門渦街的理論與應(yīng)用不止于此，感興趣的小伙伴可以去參考相關(guān)資料哦！

神奇的卡門渦街，不朽的探索精神，偉大的物理直覺，無窮的科學(xué)靈感！